© 1996, Topology Atlas

C'est sans doute Rene Baire qui le premier s'est interesse a l'existence de points de continuite d'une application separement continue. En 1899 il associe a toute fonction separement continue f: [0,1] x [0,1]-> R un residuel A SUBSET [0,1] tel que f soit continue en tout point de A x [0,1]. La demonstration qu'il donna reste encore valable si on remplace le premier intervalle par un espace de Baire (!) et le deuxieme par un metrique compact quelconque. Plus tard, en 1957, Robert Ellis s'est contente de cette variante du resultat de Baire pour etablir son celebre theoreme: 'toute action separement continue d'un groupe localement compact dans un compact est une action jointement continue". Les conditions de son theoreme ne comportant aucune hypothese de denombrabilite, R. Ellis a du faire une difficile reduction algebrico-topologique au cas metrisable. En 1973, J.D. Lawson, s'inspirant des methodes d'Ellis, a etendu les resultats de celui-ci contribuant de maniere significative au developpement intrinseques de la theorie des semigroupes semitopologiques. Ce n'est qu'en 1974 qu Issac Namioka a etablit un theoreme fondamental lui permettant de simplifier, et d'etendre considerablement, le theoreme d'Ellis et plusieurs autres resultats de la theorie des espaces de Banach. Signalons au sujet du theoreme d'Ellis, que les progres sont maintenant tels que l'on peut montrer que toute action separement continue d'un groupe semitopologique de Baire qui est un p-espace (au sens d'Arhangel'skii) dans un p-espace, est une action continue. Le theoreme de Namioka en question est un peu plus general que l'enonce suivant: "Tout triplet (X,Y,Z), ou X est Cech-complet, Y compact et Z metrique, verifie la propriete N(X,Y,Z) i.e. pour toute fonction separement continue f: X x Y-> Z il existe un residuel A SUBSET X tel que f soit continue en tout point de A x Y. On peut dire que c'est ce theoreme qui a ete le point de depart a des recherches, encore tres actives aujourd'hui, qui consistent a determiner des triplets d'espaces (X,Y,Z) qui verifent N (X,Y,Z) que l'on apelle maintent Propriete de Namika. Deux principales directions de recherches se sont alors degagees:

(i) Pour quels espaces de Baire X on a N (X,Y,Z) pour tout compact Y? (ii) pour quels compacts Y on a N(X,Y,Z) pour tout espace de Baire X?

Nous avons deja signale plus haut que ce domaine de recherche, qui est loin d'etre clos, a d'importantes applications en Topologie Algebrique et en Analyse Fonctionnelle (problemes de renormages dans les espaces de Banach, dentabilite, fragmeentabilite, etc). Il a egalement des interactions interessantes a des questions variees en Topologie, comme les jeux topologiques, la theorie des arbres et meme la theorie topologico-ensembliste. La liste suivante (bien sur, non exhaustive) des auteurs, en plus de ceux cites si-dessus, qui se sont interesses a ce domaine, temoigne de sa richesse: J. Calbrix, J.P.R. Christensen, G. Debs, R. Deville, G. Godefroy, G. Hansel, C. Haydon, P.S. Kenderov, R. Pol, C.A. Rogers, J. Saint Raymond, C. Stegall, M. Talagrand, J.P. Troallic, etc. L'article de 1992 de S. Mercourakis et S. Negrepontis dans 'Recent Progress in General Topology' contient un liste plus complete et fournit plus d'informations a ce sujet. Pour terminer ce bref apercu, notons que la simplicite de l'enonce du probleme discute ici cache souvent des difficultes insoupsonees. Le probleme suivant, pose par M. Talagrand, encore ouvert en est un exemple typique: Soit f:X x Y-> R une application separement continue. L'application f a-t-elle des points de continuite?